05) Werner Heisenberg - Unschärferelation

Inhalt

• Unschärferelation
• Matrizenmechanik
• gesellschaftliche Verhältnisse in den dreißiger Jahren in Deutschland
• Radarkontrolle im Lichte der Unschärferelation
• Vita

Aus heutiger Sicht ist verständlich, warum vielerorts der Name Heisenberg 'nur' mit der von ihm formulierten 'Unschärferelation' verbunden wird und seine Leistungen für die Formulierung der kaum eine Generation alten Quantisierung der physikalischen Realität bekannt sind, in einem gewissen Sinne mit Recht, weil schon Schrödinger 1926 zeigen konnte, dass sich für messbare Größen wie Energien stationärer Zustände und Intensitäten emittierter oder absorbierter Lichtwellen aus Schrödingers Vorgehen dieselben Ergebnisse wie nach der von Heisenberg, Born sowie Jordan entwickelten Matrizenmechanik ergeben, wenn die Wellen-Funktion eine stehende Welle beschreibt und ihr Betragsquadrat  als die Verteilung der elektrischen Ladungsdichte angesehen wird. Den Grund für diese Übereinstimmung konnte Schrödinger auch schon 1926 zeigen: Siehe Annalen der Physik 79 (1926), S. 734–756. Beide Vorgehensweisen sind trotz ihrer großen Unterschiede mathematisch äquivalent; die Elemente der Matrizen lassen sich aus den -Funktionen der stationären Zustände des Systems als Integrale berechnen, und umgekehrt.

Daher sieht man heute die Matrizenmechanik und Wellenmechanik nicht mehr, wie in den Anfangsjahren, als grundverschieden an, sondern als zwei äquivalente Darstellungsformen derselben Quantenmechanik. In moderner Sprechweise führte der matrixmechanische Zugang zu der Bewegungsgleichung im Heisenbergbild und der wellenmechanische zu der im Schrödingerbild. Allerdings ist das Schrödinger-Bild für den Laien leichter zugängig - siehe Schrödinger-Beitrag in diesem Projekt des Schlichtvereins.

Deshalb hier im Heisenberg-Beitrag mal ein Blick auf die politischen und gesellschaftlichen Verhältnisse in Deutschland und Europa im beginnenden 20. Jahrhundert.

Im Geburtsjahr 1901 von Werner Heisenberg befand sich das deutsche Kaiserreich unter Kaiser Wilhelm II. befand in einer Phase rasanten Wandels:

• Wirtschaftliche Großmacht: Durch die Industrialisierung stieg Deutschland zur führenden Industrienation auf und überholte sogar Großbritannien in der Stahlproduktion.
• Gesellschaftliche Spannungen: Es herrschte eine Zerrissenheit zwischen moderner Industriegesellschaft und traditioneller Obrigkeitsstaatlichkeit. Die Arbeiterklasse wuchs stark an, was die SPD zur einflussreichen, aber politisch oft ausgegrenzten Kraft machte.
• Militarismus & Weltmachtstreben: Das gesellschaftliche Ideal war stark militärisch geprägt. Wilhelm II. forderte einen „Platz an der Sonne“, was zu einem massiven Flottenwettrüsten mit Großbritannien führte. 

Für Heisenberg wurden die Verhältnisse nach dem Ende der Weimarer Republik 1933 zusehends unfreundlicher: 

1933 war für den knapp 32-jährigen H. das Jahr höchster Auszeichnungen. Am 18.9. verlieh ihm die Deutsche Physikalische Gesellschaft die Max-Planck-Medaille, und am 9.11. teilte ihm die Schwedische Akademie der Wissenschaften die Verleihung des Nobelpreises für das Jahr 1932 mit, der ihm am 10.12.1933 in Stockholm „für die Aufstellung der Quantenmechanik“ überreicht wurde. Zur gleichen Zeit wurde H. Zeuge jener moralischen Zerstörung, die 1933 mit dem Erlass des Gesetzes zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums begann, das alle Universitätslehrer „nichtarischer“ Abstammung oder politisch Missliebige ausschloss. 

Im Sommer 1937 erfolgten verstärkt politische Angriffe gegen Heisenberg von Vertretern der „Deutschen Physik“, nachdem Heisenberg in Nachfolge seines Lehrers Sommerfeld in München an die erste Stelle der Berufungsliste auf den Lehrstuhl für Theoretische Physik gesetzt worden war. Darauf erschien am 15.7.1937 in der SS-Zeitung „Das Schwarze Korps“ ein Artikel unter der Überschrift „Weiße Juden in der Wissenschaft“. Er wiederholte frühere Anschuldigungen Starks und gipfelte in der Forderung, dass Heisenberg und die anderen „Statthalter des Judentums ... ebenso verschwinden müssen wie die Juden selbst“. 

Zum Schluss dennoch ein Blick auf Heisenbergs Unschärferelation

• in Worten: Impuls und Ort eines Teilchens lassen sich prinzipiell nicht gleichzeitig beliebig genau messen.
  
  
• Welle-Teilchen-Dualismus: Teilchen (Elektronen, Photonen) verhalten sich wie Wellen und erzeugen Interferenz, solange keine "Welcher-Weg"-Information gemessen wird.
• Unschärferelation in Aktion: Will man exakt wissen, durch welchen Spalt das Teilchen geht (Ort Δ x klein), wird der Impuls (Δ p ) so unbestimmt, dass das Interferenzmuster verschwindet.
• Messprozess: Der Messapparat, der den Weg detektiert, interagiert mit dem Teilchen und zerstört den Überlagerungszustand (Kohärenz).
• Ergebnis: Das Interferenzmuster ist ein Ergebnis der Welle, die durch beide Spalte geht; wird die Ortsinformation gemessen, kollabiert diese Wellenfunktion. 
• in einer Formel:    Δ x *Δ p >= h/4π
  Herleitung: 
• Die Heisenbergsche Unschärferelation besagt im Doppelspaltexperiment: Es gibt keine Möglichkeit, ein Gerät zu bauen, das feststellt, durch welchen Spalt das Elektron geht, ohne das Interferenzmuster zu zerstören. Eine Ergänzung der Apparatur, deren Messergebnis die Information ist, durch welchen der beiden Spalte ein Teilchen den Detektor erreicht hat („Welcher-Weg“-Experiment), bewirkt unvermeidlich einen Zusammenbruch der Kohärenz und damit ein Verschwinden des Interferenzmusters.
  
  
  • Dreiecksgeometrie für Beugungsmuster am Doppelspalt
    

    

    
    
    
    
    
    

    Für kleine Winkel gilt näherungsweise sin = tan !

    Außerdem sind die 4 Dreiecksschenkel paarweise parallel !
    Der Gangunterschied beträgt eine Wellenlänge

    Abstand 0. bis 1. Max ist gleich ...... selber rechnen ....

    
    
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    vergleichbare Überlegungen bei Beugung am Einzelspalt nach Heisenberg
    Bei der von Heisenberg ursprünglich publizierten Variante der Unbestimmtheitsrelation wird der Begriff der Unschärfe von Ort und Impuls nicht immer durch die statistische Streuung dargestellt. Ein Beispiel dafür ist das häufig diskutierte Gedankenexperiment, in dem mit Hilfe des Einfachspaltes Ort und Impuls von Teilchen bestimmt werden soll: ein breiter Strahl parallel fliegender Elektronen mit gleichem Impuls trifft auf einen Schirm mit einem Spalt der Breite Δx. Beim Durchtritt durch den Spalt ist die Ortskoordinate der Elektronen (in Richtung quer zum Spalt) bis auf die Unsicherheit Δx bekannt. Die Ausblendung verursacht eine Beugung des Strahls, wobei nach dem huygensschen Prinzip von allen Punkten des Spalts Elementarwellen ausgehen. Dies führt nach dem Durchtritt durch den Spalt zu einer Aufweitung des Strahls, d. h. für jedes einzelne Elektron zu einer Ablenkung um einen gewissen Winkel α.

 Die de Broglie-Wellenlänge eines Teilchens:

• Der Ablenkungswinkel α ist eine Zufallsgröße, die bei jedem Teilchen einen anderen Wert annehmen kann, wobei die Häufigkeitsverteilung durch das Interferenzmuster gegeben ist.
• Damit das erste Interferenzminimum auf dem Schirm noch optisch erkennbar ist, muss der Gangunterschied etwa mindestens so groß sein wie die De-Broglie-Wellenlänge des Teilchens:

Δx sin⁡(α) ≳ λ (1)

• • Es werden gemäß Heisenberg nur die Teilchen im Hauptmaximum des gebeugten Strahls betrachtet. Ihre Ablenkungswinkel α entsprechen einem Impuls in x-Richtung, der innerhalb des vorgegebenen Impulsintervalls Δp (keine Zufallsgröße) des ersten Beugungsminimums auf der Impulsskala liegt. Formal sind das genau die, die der folgenden Bedingung genügen:

p⋅sin⁡(α) ≤ Δp (2)

Die letzten beiden Relationen ergeben zusammen mit der Formel von de Broglie die folgende Einschränkung für die betrachteten Streuwinkel:

h/(p⋅Δx) ≲sin⁡(α) ≤ Δp/p

Aus diesem Ausdruck ergibt sich nach Multiplikation mit p·Δx die Relation von Heisenberg:

Δx⋅Δp≳h

• ein, zwei Beispiele:
  retounieren eines Tennisballs mit v =  100 km/h , Masse m: 56,0 bis 59,4 Gramm, Größe eines Tennisschlägers: Fläche ca 600 cm² -> Durchmesser d des kreisförmig angenommenen Schlägers d =  25 cm = Δ x , Δ p = h/Δ x = 6,6*(10^-34) / 0,25 = .... oder .....
  

  Radarkontrolle im Straßenverkehr
  

  Radarkontrolle: Der Ort des Fahrzeugs sei bei der Radarkontrolle bis auf ±1m genau bestimmbar, d. h. Δx=2m. Die Unbestimmtheit der Geschwindigkeit wird angenommen mit Δv=1km/h=1000m/3600s≈0,3m/s und die Masse mit m=1t=1000kg. Daraus ergibt sich eine Impulsunschärfe von Δp=m⋅Δv=300kgm/s.
  Damit resultiert für das Produkt: Δx⋅Δp=9⋅1035h. Die Einschränkung durch die Unschärferelation würde sich daher erst bei Steigerung der Genauigkeit um je 18 Dezimalstellen bei Ort und Geschwindigkeit bemerkbar machen. Es ist offensichtlich, dass das Radarsignal das Fahrzeug bei der Messung praktisch nicht beeinflusst.

  
  
  

• Elektronen am Doppelspalt
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Quellen: Sächsische Biografie, Wikipedia, einschlägige Fachliteratur