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Im Beitrag 6 - Schrödingergleichung - wurde der Name ergänzt durch 'Analogie'. In diesem Beitrag nun geht es um die Lösung der Schrödingergleichung:
- Warum die komplexe Zahl 'i'? - zur Erinnerung: i2 = -1
- Warum ist die Dimension des Lösungsraums unendlich?
- Was ist ein 'Hilbertraum', i.e. Hilbert-Raum?
- Welche Basis hat der Hilbertraum?
- ein Quantensprung: chatcpt & Grapher & Pensionistenspieltrieb
zu a) meint die KI:
Das (die imaginäre Einheit) ist in der Schrödingergleichung absolut fundamental und kein bloßer Rechentrick. Es hat drei wesentliche Bedeutungen:
- Oszillation statt Zerfall: In der Mathematik beschreiben Differentialgleichungen ohne oft Prozesse, die exponentiell abfallen (wie Wärmeausbreitung). Das sorgt dafür, dass die Lösungen Wellen sind, die zeitlich schwingen (phasenstabil bleiben), anstatt einfach zu verschwinden
- Phaseninformation: Quantenmechanische Zustände sind komplexwertig. Das erlaubt es der Wellenfunktion, eine Phase zu haben. Diese Phase ist entscheidend für Interferenz – also das Phänomen, dass sich Teilchen wie Wellen auslöschen oder verstärken können
- Unitäre Zeitentwicklung: In der Quantenmechanik muss die Gesamtwahrscheinlichkeit (100 %) immer erhalten bleiben. Das sorgt mathematisch dafür, dass der Zeitentwicklungsoperator unitär ist. Das bedeutet: Das Teilchen kann seine Form oder Position ändern, aber es kann nicht "aus der Existenz wegdiffundieren".
zu b) meint die KI:
zu c) meint die KI:
Da die Schrödingergleichung eine lineare partielle Differentialgleichung ist, bilden ihre Lösungen einen Vektorraum. Für ein physikalisches System ist dieser Lösungsraum (der Hilbertraum) unendlichdimensional, da es unendlich viele linear unabhängige Zustandsfunktionen (ψ ) gibt. Der Raum unserer Anschauung ist dreidimensional, bzw. vierdimensional in der allgemeinen Relativitätstheorie.
zu d) meint die KI:
Es gibt nicht die eine Basis, sondern man wählt sie je nach Problemstellung aus. Da der Lösungsraum ein unendlichdimensionaler Hilbertraum ist, besteht die Basis aus einem vollständigen Satz linear unabhängiger Funktionen. Die gebräuchlichsten Basen sind:
- Energie-Eigenbasis: Das ist die am häufigsten genutzte Basis. Sie besteht aus den Eigenfunktionen des Hamilton-Operators . Der Vorteil: In dieser Basis ist die Zeitentwicklung sehr einfach zu berechnen.
- Ortsbasis: Hier dienen die (idealisierten) Orts-Eigenzustände als Basis. Die "Koeffizienten" sind in diesem Fall einfach die Werte der Wellenfunktion an jedem Punkt.
- Impulsbasis: Hier nutzt man ebene Wellen (Eigenfunktionen des Impulsoperators). Das ist besonders hilfreich für freie Teilchen.
Zu e) meint mein Sohn Tobias, dass ich die Fähigkeiten des Grapher - kostenlos auf dem MAC - mal mit dem chatgpt kombinieren sollte. Und siehe da - tolle Bilder des 3d-Orbitals mit der
Hauptquantenzahl n = 3,
der Nebenquantenzahl l = 0,1 und 2 und
den magnetischen Quantenzahlen m = -2 ... +2 und den
Spins s = -1/2 und +1/2.
Insgesamt also (1 + 3 + 5)*2 = 18 Zustände ....
Daten: chatcpt - Visualisierung: MAC-Grapher - (Grafik: pk)
Übungshalber: Wie lauten die Quantenzahlen des Wasserstoffatoms bzgl. der HtQuZahl n=4: l=-3,-2,-1,0,1,+2 und +3, Spin s: +/- 1/2, ..... Lösung: 32 Zustände